Слово «допоздна» является наречием и всегда пишется слитно. По правилам русского языка наречия, образованные от прилагательных с помощью приставки и суффикса , пишутся слитно. Слово «допоздна» образовано от прилагательного «поздний» с помощью добавления приставки «до» и суффикса «а». Поэтому наречие «допоздна» правильно писать слитно.