Слова “разыграть”, “разыгрывать” и под. правильно пишутся через -ы- в корне.
Есть простое правило, чтобы запомнить, как пишется “разыгрываем” и подобные слова с корнем -игр-. Если перед корневым -и- сразу стоит приставка, оканчивающаяся на согласный (в нашем случае раз- заканчивается на согласный -з-, а дальше сразу идет корень -игр-), то этот -и- заменяется и в речи, и на письме на -ы-. Это касается любых приставок на согласный, кроме меж- и сверх-.
Пример:
Разыгрывать друзей лучше только в День смеха.