Правильный вариант написания – «извинения», с безударной гласной «и» в корне слова. Для ее проверки нужно подобрать такое проверочное слово, в котором она находилась бы под ударением, например, «безвинный», провинность». Пример: Я приму ваши извинения, но впредь так больше не поступайте.