Правильное написание слова зависит от контекста:
- «Зачем» пишется слитно, если это вопросительное наречие, которое можно заменить синонимом «почему». Пример: Ну зачем нужно было будить меня так рано?
- «За чем» пишется раздельно, это связка предлога и существительного. Пример: За чем ты пошел в библиотеку? (То есть, за какими книгами ты пошел в библиотеку).