Правильно пишется так – «мне тоже купили платье». В данном контексте слово «тоже» пишется слитно, поскольку оно выступает в качестве сочинительного союза, который можно заменить союзом «и»: и мне купили платье. «То же» пишется раздельно, если «же» можно опустить или заменить на слово «самое»: мне купили то (самое) платье, что и у тебя.