Возвратное причастие прошедшего времени совершенного вида “обидевшийся” писать нужно с суффиксом -е-.
Объяснить правописание легко: в причастиях, образованных с помощью суффикса -вш-, перед этим суффиксом пишется тот же гласный, что и перед суффиксом -ть- основного инфинитива. В инфинитиве “обидЕть” перед суффиксом -ть- видим -е-, значит в нашем причастии также перед -вш- пишем -е-.