Правильный вариант написания слова – «отпросилась», через букву «о» в корне слова. Данная гласная является сомнительной, так как находится не под ударением. Для ее проверки нужно подобрать подходящее проверочное слово, например, «просим» – здесь в написании «о» нет никаких сомнений. Пример: Света отпросилась у начальницы уйти пораньше.