Согласно языковой норме, слово пишется через -и-, т.е. “плавание”. Языковеды советуют между вариантами “плавание” и “плаванье” выбирать первый. Именно “плавание” фиксируют все словари как литературный вариант. “Плаванье” допустимо употреблять только в разговорной речи.
Примеры:
Родители записали на плавание сразу двоих детей.
Соревнования по плаванию отменяются.