В русском языке есть и слово “помериться”, и слово “помириться”. Эти глаголы имеют разное лексическое значение и разные корни. Чтобы определить, как пишется слово, нужно обратиться к его лексическому значению и подобрать проверочное слово.
1. Слово “помириться” с ударением на третьем слоге (“помирИться”) означает наладить отношения после ссоры, заключить мир. Т.е. для глагола “помириться” проверочным словом будет существительное “мир”. Пример: Я хочу с тобой помириться и больше никогда не ссориться.
2. Слово “помериться” с ударением на втором слоге (“помЕриться”) означает сравнить себя или что-либо свое с кем-то. Проверочным словом для этого глагола будет существительное “мера”. Пример: Помериться силами, конечно, можно, но и так понятно, что профессиональный спортсмен сильнее простого любителя.