Правильно: приглашаю на мой день рождения.
В словосочетании есть главное и зависимое слово. Главное слово (от которого можно задать вопрос к зависимому) влияет на согласование падежа, рода и числа.
В словосочетании “мой день рождения” главное слово – день (м. р., ед. ч., И. п.) Значит, все остальные зависимые слова должны стоять в этой же форме – мой день рождения.