15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);

Задание ЕГЭ

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:– 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца (r – целое число);– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;– 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;– к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.

Решение

Решение:

  S = 1100 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
  Сумма выплат за 16 месяцев = 1228 тыс. рублей;
  Остаток долга за 15-й месяц  = 500 тыс. рублей;
  х тыс. рублей – сумма на которую долг уменьшается каждый месяц с 1-го по 15-й;
  r – ?  % каждый месяц \frac{r}{100};

Месяц	Долг начальный	%	Выплаты (1–15 месяцы: x + %; 16 месяц: остаток долга 500 тыс. рублей + %)	Остаток долга (долг начальный + % – выплата)
1	1100	1100·\frac{r}{100}	x + 1100·\frac{r}{100}	1100 – x
2	1100 – x	(1100 – x)·\frac{r}{100}	x + (1100 – x)·\frac{r}{100}	1100 – 2x
3	1100 – 2x	(1100 – 2x)·\frac{r}{100}	x + (1100 – 2x)·\frac{r}{100}	1100 – 3x
. . .	…	…	…	…
15	1100 – 14x	(1100 – 14x)·\frac{r}{100}	x + (1100 – 14x)·\frac{r}{100}	1100–15x=500 15x=600 x=40 тыс. рублей
16	500	500·\frac{r}{100}	500 + 500·\frac{r}{100}	0

    Складываем выплаты за все месяцы и упрощаем выражение:

x + 1100·\frac{r}{100} + x + (1100 – x)·\frac{r}{100} + x + (1100 – 2x)·\frac{r}{100} +  … + x + (1100 – 14x)·\frac{r}{100} + 500 + 500·\frac{r}{100} = 15x + 500 + \frac{r}{100}·(1100 + 1100 – x + 1100 – 2x + … + 1100 – 14x + 500) = 15x + 500 + \frac{r}{100}·(15·1100 + 500 – \frac{x+14x}{2}\cdot 14) = 15x + 500 +  \frac{r}{100}·(17000 – 105х)

    Зная, что общая сумма выплат равна 1128 тыс. рублей и в таблице нашли, что ежемесячный платёж х = 40 тыс. рублей, получаем уравнение:

15x + 500 +  \frac{r}{100}·(17000 – 105х) = 1228
15·40 + 500 +  \frac{r}{100}·(17000 – 105·40) = 1228
1100 + \frac{r}{100}·12800 = 1228
1100 + 128r = 1228
128r = 1228 – 1100
128r = 128
r=\frac{128}{128} = 1%

Ответ: 1.