Задание ЕГЭ
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:Решение
Решение:
Обозначим:
S тыс. рублей – сумма кредита в банке на 24 месяца;
2% = 0,02 – процент на который возрастает долг каждый месяц.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый месяц.
«15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.»
Это означает, что каждый месяц мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество месяцев, т.е \frac{S}{24}) + начисленные % за этот месяц (0,02·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу для первого года кредитования:
| Месяц | Долг | Платёж | Долг после платежа | |
| на 15 число месяца, до % | 1 число месяца, после % | |||
| 1 | S | S + 0,02·S | \frac{S}{24} + 0,02·S | S + 0,02·S – (\frac{S}{24} + 0,02·S) = \frac{23\cdot S}{24} |
| 2 | \frac{23\cdot S}{24} | \frac{23\cdot S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24} | \frac{23\cdot S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24} – (\frac{S}{24} + 0,02·\frac{23\cdot S}{24}) = \frac{22\cdot S}{24} |
| 3 | \frac{22\cdot S}{24} | \frac{22\cdot S}{24} + 0,02·\frac{22\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,02·\frac{22\cdot S}{24} | \frac{22\cdot S}{24} + 0,02·\frac{22\cdot S}{24} – (\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{22\cdot S}{24}) =\frac{21\cdot S}{24} |
| … | … | … | … | … |
| 12 | \frac{13\cdot S}{24} | \frac{13\cdot S}{24} + 0,02·\frac{13\cdot S}{24} | \frac{S}{24} + 0,02·\frac{13\cdot S}{24} | \frac{13\cdot S}{24} + 0,02·\frac{13\cdot S}{24} – (\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{13\cdot S}{24}) = \frac{12\cdot S}{24} |
Сложим все платежи за первый год:
\frac{S}{24}+ 0,02\cdot S+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{23\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+0,02·\frac{22\cdot S}{24}+…+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{13\cdot S}{24}
Сложив все \frac{S}{24} получим ровно \frac{12S}{24}. А у % вынесем общий множитель по условию это равно 2466 тыс. рублей:
\frac{12S}{24}+ 0,02\cdot S\cdot (1+\frac{23}{24}+\frac{22}{24}+…+\frac{13}{24})=2466\\\frac{12S}{24}+ 0,02\cdot S\cdot \frac{222}{24}=2466\\\frac{S}{2}+ 0,02\cdot S\cdot \frac{111}{12}=2466{\color{Blue}| \cdot 12}\\6\cdot S+0,02\cdot S\cdot 111=2466\cdot 12{\color{Blue} |: 2}\\3\cdot S+0,01\cdot S\cdot 111=2466\cdot 6\\S(3+1,11)=14796\\4,11S=14796\\S=\frac{14796}{4,11}=3600тыс.руб.
Составим аналогично сумму платежей за последние 12 месяцев и зная S, найдём какую сумму необходимо было выплатить:
\frac{S}{24}+ 0,02\cdot \frac{12\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{11\cdot S}{24}+\frac{S}{24}+0,02·\frac{10\cdot S}{24}+…+\frac{S}{24}+ 0,02·\frac{1\cdot S}{24}=\frac{12S}{24}+ 0,02\cdot S\cdot (\frac{12}{24}+\frac{11}{24}+\frac{10}{24}+…+\frac{1}{24})=\frac{S}{2}+0,02\cdot S\cdot \frac{78}{24}=\frac{3600}{2}+0,02\cdot 3600\cdot \frac{78}{24}=1800+234=2034тыс.руб.
Ответ: 2034 тыс. руб.