Задание ЕГЭ
15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1,5 млн рублей?Решение
Решение:
Обозначим:
S тыс. рублей – сумма кредита в банке на 9 месяцев;
5% = 0,05 – процент на который возрастает долг каждый месяц.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый месяц.
«15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.»
Это означает, что каждый месяц мы должны выплачивать часть начального долга (S поделить на количество месяцев, т.е \frac{S}{9}) + начисленные % за этот месяц (0,05·долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу для первого года кредитования:
| Месяц | Долг | Платёж | Долг после платежа | |
| на 15 число месяца, до % | 1 число месяца, после % | |||
| 1 | S | S + 0,05·S | \frac{S}{9} + 0,05·S | S + 0,05·S – (\frac{S}{9} + 0,05·S) = \frac{8\cdot S}{9} |
| 2 | \frac{8\cdot S}{9} | \frac{8\cdot S}{9} + 0,05·\frac{8\cdot S}{9} | \frac{S}{9} + 0,05·\frac{8\cdot S}{9} | \frac{8\cdot S}{9} + 0,05·\frac{8\cdot S}{9} – (\frac{S}{9} + 0,05·\frac{8\cdot S}{9}) = \frac{7\cdot S}{9} |
| 3 | \frac{7\cdot S}{9} | \frac{7\cdot S}{9} + 0,05·\frac{7\cdot S}{9} | \frac{S}{9} + 0,05·\frac{7\cdot S}{9} | \frac{7\cdot S}{9} + 0,05·\frac{7\cdot S}{9} – (\frac{S}{9} + 0,05·\frac{7\cdot S}{9}) =\frac{6\cdot S}{9} |
| … | … | … | … | … |
| 9 | \frac{1\cdot S}{9} | \frac{1\cdot S}{9} + 0,05·\frac{1\cdot S}{9} | \frac{S}{9} + 0,05·\frac{1\cdot S}{9} | \frac{1\cdot S}{9} + 0,05·\frac{1\cdot S}{9} – (\frac{S}{9} + 0,05·\frac{1\cdot S}{9}) = 0 |
Сложим все платежи за 9 месяцев:
\frac{S}{9}+ 0,05\cdot S+\frac{S}{9}+ 0,05·\frac{8\cdot S}{9}+\frac{S}{9}+0,05·\frac{7\cdot S}{9}+…+\frac{S}{9}+ 0,05·\frac{1\cdot S}{9}
Сложив все \frac{S}{9} получим ровно \frac{9S}{9}=S. А у % вынесем общий множитель. По условию сумма платежей равна 1500000 рублей:
S+ 0,05\cdot S\cdot (1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+…+\frac{1}{9})=1500000\\S+ 0,05\cdot S\cdot \frac{45}{9}=1500000\\S+ 0,05\cdot S\cdot 5=1500000\\S+ 0,25\cdot S=1500000\\1,25\cdot S=1500000\\S=\frac{1500000}{1,25}=1 200 000\:рублей
Ответ: 1 200 000.