Задание ЕГЭ
Каждое из четырех последовательных натуральных чисел поделили на его первую цифру и сложили все полученные числа, а полученную сумму обозначили за S.а) Может ли S = 41\frac{11}{24}?б) Может ли S = 569\frac{29}{72}?в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?Решение
Решение:
Приведу, пример, что бы стало понятнее условие:
Взяли 4 последовательных натуральных числа, например:
35; 36; 37; 38
Поделили каждое из них на их первую цифру:
\frac{35}{3}; \frac{36}{3}; \frac{37}{3}; \frac{38}{3}
Нашли их сумму S:
S = \frac{35}{3}+ \frac{36}{3}+ \frac{37}{3}+ \frac{38}{3}=11\frac{2}{3}+12+12\frac{1}{3}+12\frac{2}{3}=47\frac{5}{3}=48\frac{2}{3}
Заметим, что если у всех 4-х чисел одинаковая первая цифра (в данном примере это 3), то и знаменатель у дроби в сумме S будет равен этой цифре (в примере это 3).
Если числа с разными первыми числами, то могут быть следующие варианты знаменателя дроби S:
1 и 2 = общий знаменатель 1·2 = 2
2 и 3 = общий знаменатель 2·3 = 6
3 и 4 = общий знаменатель 3·4 = 12
4 и 5 = общий знаменатель 4·5 = 20
5 и 6 = общий знаменатель 5·6 = 30
6 и 7 = общий знаменатель 6·7 = 42
7 и 8 = общий знаменатель 7·8 = 56
8 и 9 = общий знаменатель 8·9 = 72
а) Да, может.
В знаменателе дроби стоит 24, такое могло быть, только если изначально дробь была со знаменателем 72, но потом сократилась 72/3 = 24 и знаменатель стал 24.
Числа которые тут могли быть двухзначные (иначе сумма будет больше 41) начинаются на 8 и 9. Возможны следующие варианты:
87; 88; 89; 90
88; 89; 90; 91
89; 90; 91; 92
Проверяем для каждого варианта cумму S. Искомая сумма получится в следующем варианте:
89; 90; 91; 92
S = \frac{89}{8}+ \frac{90}{9}+ \frac{91}{9}+ \frac{92}{9}=11\frac{1}{8}+10+10\frac{1}{9}+10\frac{2}{9}=41+(\frac{1}{8}+\frac{3}{9})=41+(\frac{1\cdot 9+3\cdot 8}{72})=41\frac{33}{72}=41\frac{11}{24}
б) Нет, не может.
Знаменатель 72, числа начинаются на 8 и 9. Сумма 569 двухзначных чисел будет мало, четырёхзначных много, значит это трёхзначные. Возможны следующие варианты:
897; 898; 899; 900
898; 899; 900; 901
899; 900; 901; 902
Проверив для каждого варианта cумму S, поймём, что максимальная сумма тут будет чуть больше 400, а у нас 569, значит чисел дающих такую сумму не существует.
в) 4 числа на отрезке [400; 999], найти наибольшую целую сумму S.
Чем меньше знаменатель на которое делится число, тем больше сумма, а значит, чем меньше первая цифра числа тем больше сумма.
• Если все числа начинаются на 4, то целую сумму S получить невозможно:
4 последовательных числа можно представить как:
а; a + 1; a + 2; a + 3
Найдём для них S, учитывая, что они начинаются на 4:
S = \frac{a}{4}+ \frac{a+1}{4}+ \frac{a+2}{4}+ \frac{a+3}{4}=\frac{a+a+1+a+2+a+3}{4}=\frac{4a+6}{4}=\frac{4a}{4}+\frac{6}{4}=a+\frac{6}{4}=a+\frac{3}{2}=a+1+\frac{1}{2}
Видим, что S будет всегда не целым числом.
• Возьмём пограничные варианты, где числа начинаются и на 4 и на 5:
497; 498; 499; 500
498; 499; 500; 501
499; 500; 501; 502
Проверив для каждого варианта S, целых S не получим.
• Возьмём максимальные числа начинающиеся на 5:
596; 597; 598; 599
Найдём для них S:
S = \frac{596}{5}+ \frac{597}{5}+ \frac{598}{5}+ \frac{599}{5}=\frac{596+597+598+599}{5}=\frac{596+597+598+599}{5}=\frac{2390}{5}=478
• Все остальные числа будут давать меньшее S даже если среди них будут целые S, т.к. числа надо будет делить на число большее 5.
Наибольшее целое значение S = 478.
Ответ: а) да; б) нет; в) 478.