Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 4 и МВ = 9.

Задание ЕГЭ

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 4 и МВ = 9. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.

Решение

Решение:

    CM – биссектриса, то по свойству биссектрисы:

\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{9}

    Рассмотрим ΔDAC и ΔDBC, в них ∠D общий, вписанный ∠В равен половине дуги на которую опирается:

∠В = \frac{1}{2}‿АС

    ∠DCA угол между касательной и хордой, равен половине дуги заключённой между ними:

∠DCA = \frac{1}{2}‿АС
∠В = ∠DCA 

    ΔDAC ∼ ΔDBC подобны по двум углам, отсюда получаем отношение для сторон:

\frac{CD}{DB}=\frac{DA}{CD}=\frac{4}{9}

    откуда:

CD² = DB·DA 

и

DB=\frac{9}{4}CD

    Выразим DA:

DA = DB – AM – MB = DB – 4 – 9 = DB – 13 = \frac{9}{4}CD – 13

    Всё подставим и найдём СD:

CD^{2}=\frac{9}{4}CD\cdot (\frac{9}{4}CD-13){\color{Blue} |:CD}\\CD=\frac{9}{4}\cdot (\frac{9}{4}CD-13)\\CD=\frac{81}{16}CD-\frac{117}{4}\\\frac{65}{16}CD=\frac{117}{4}\\CD=\frac{117}{4}:\frac{65}{16}=\frac{117\cdot 16}{4\cdot 65}=\frac{117\cdot 4}{1\cdot 65}=7,2

Ответ: 7,2.