Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 8 и МВ = 13.

Задание ЕГЭ

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 8 и МВ = 13. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.

Решение

Решение:

    CM – биссектриса, то по свойству биссектрисы:

\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{13}

    Рассмотрим ΔDAC и ΔDBC, в них ∠D общий, вписанный ∠В равен половине дуги на которую опирается:

∠В = \frac{1}{2}‿АС

    ∠DCA угол между касательной и хордой, равен половине дуги заключённой между ними:

∠DCA = \frac{1}{2}‿АС
∠В = ∠DCA 

    ΔDAC ∼ ΔDBC подобны по двум углам, отсюда получаем отношение для сторон:

\frac{CD}{DB}=\frac{DA}{CD}=\frac{8}{13}

    откуда:

CD² = DB·DA 

и

DB=\frac{13}{8}CD

    Выразим DA:

DA = DB – AM – MB = DB – 8 – 13 = DB – 21 = \frac{13}{8}CD – 21

    Всё подставим и найдём СD:

CD^{2}=\frac{13}{8}CD\cdot (\frac{13}{8}CD-21){\color{Blue} |:CD}\\CD=\frac{13}{8}\cdot (\frac{13}{8}CD-21)\\CD=\frac{169}{64}CD-\frac{273}{8}\\\frac{105}{64}CD=\frac{273}{8}\\CD=\frac{273}{8}:\frac{105}{64}=\frac{273\cdot 64}{8\cdot 105}=\frac{13\cdot 8}{1\cdot 5}=\frac{104}{5}=20,8

Ответ: 20,8.