Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 20 и 29, а основание ВС равно 4.

Задание ЕГЭ

Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 20 и 29, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Решение

Решение:

     Продолжим биссектрису DM до пересечения с продолжением основания ВС в точке K.
    ∠KDA = ∠KDC, т.к. DK биссектриса, ∠KDA = ∠CKD – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей КD. Тогда:

∠KDA = ∠KDC = ∠CKD

     Значит, ΔKCD равнобедренный, КС = СD = 29. Найдём КВ:

KB = КС – ВС = 29 – 4 = 25

     ΔAMD = ΔВМК по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ – по условию, ∠AMD = ∠BMK – вертикальные, ∠DAM = ∠KBM – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей AB). Соответствующие стороны треугольников равны:

AD = BK = 25

     Проведём через точку C прямую CH, параллельную прямой AB. Четырёхугольник ABCH – параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны равны:

AH = BC = 4
CH = AB = 20

    Найдём HD:

HD = AD – AH = 25 – 4 = 21

    Рассмотрим ΔCHD, он прямоугольной по обратной теореме Пифагора:

СD² = HD² + CH²
29² = 21² + 20²
841 = 441 + 400
841 = 841

    Значит CH⊥HD, CH – высота трапеции ABCD. Найдём площадь трапеции:

S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{25+4}{2}\cdot 20=290

Ответ: 290.