Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая …

На чтение 1 мин Просмотров 8 Обновлено 03.04.2024

Задание ЕГЭ

Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке Т. Найдите отношение площади треугольника АDТ к площади четырёхугольника СКDТ.

Решение

Решение:

Обозначим S_ΔABC, как S.
ΔABK и ΔAKC равновеликие, т.к. образованы медианой AK, значит имеют равную площадь:

$S_{\Delta ABK}=S_{\Delta AKC}=\frac{S}{2}$

ΔBAD и ΔBDK так же равновеликие, т.к. образованы медианой BD, значит имеют равную площадь:

$S_{\Delta BAD}=S_{\Delta BDK}=\frac{\frac{S}{2}}{2}=\frac{S}{4}$

Через середину D медианы АК треугольника АВС и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке Т.

Площадь ΔBAD можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

$S_{\Delta BAD}=S_{\Delta BAT}\cdot \frac{BD}{BT}$

Отсюда:

$\frac{S}{4}=S_{\Delta BAT}\cdot \frac{BD}{BT}$

$S_{\Delta BAT}=\frac{S}{4}:\frac{BD}{BT}=\frac{S}{4}\cdot \frac{BT}{BD}$

Площадь ΔADT можно выразить через ΔBAT как (высоты у треугольников общие, отличаются только основаниями):

${\color{Pink} S_{\Delta ADT}}=S_{\Delta BAT}\cdot \frac{DT}{BT} =\frac{S}{4}\cdot \frac{BT}{BD}\cdot \frac{DT}{BT}={\color{Pink} \frac{S}{4}\cdot \frac{DT}{BD}}$

Выразим площадь четырёхугольника CKDT:

S_CKDT = S_ΔAKC – S_ΔADT = ${\color{Orange} \frac{S}{2}-\frac{S}{4}\cdot \frac{DT}{BD}}$

Тогда искомое отношение площадей равно:

$\frac{{\color{Pink} S_{ADT}}}{{\color{Orange} S_{CKDT}}}=\frac{{\color{Pink} \frac{S}{4}\cdot \frac{DT}{BD}}}{{\color{Orange} \frac{S}{2}-\frac{S}{4}\cdot \frac{DT}{BD}}}$

По теореме Менелая для ΔAKC:

$\frac{CT}{TA}\cdot \frac{AD}{DK}\cdot \frac{BK}{BC}=1$

$\frac{CT}{TA}\cdot \frac{AD}{AD}\cdot \frac{BK}{BK+BK}=1$

$\frac{CT}{TA}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1$

$\frac{CT}{TA}=\frac{2}{1}$

Получаем, что СТ:ТА = 2:1, СТ = 2х, ТА = 1х, АС = СТ + ТА = 2х + 1х = 3х.
По теореме Менелая для ΔBCT:

$\frac{CK}{KB}\cdot \frac{BD}{DT}\cdot \frac{TA}{AC}=1$

$\frac{CK}{CK}\cdot \frac{BD}{DT}\cdot \frac{1x}{3x}=1$

$1\cdot \frac{BD}{DT}\cdot \frac{1}{3}=1$

$\frac{BD}{DT}=3$

Получаем, что BD:DT = 3:1, BD = 3х, DT = 1х.
Найдём искомое отношение площадей:

$\frac{{\color{Pink} S_{ADT}}}{{\color{Orange} S_{CKDT}}}=\frac{{\color{Pink} \frac{S}{4}\cdot \frac{DT}{BD}}}{{\color{Orange} \frac{S}{2}-\frac{S}{4}\cdot \frac{DT}{BD}}}=\frac{\frac{S}{4}\cdot \frac{1x}{3x}}{\frac{S}{2}-\frac{S}{4}\cdot \frac{1x}{3x}}=\frac{\frac{S}{12}}{\frac{S}{2}-\frac{S}{12}}=\frac{\frac{S}{12}}{\frac{6S-S}{12}}=\\=\frac{\frac{S}{12}}{\frac{5S}{12}}=\frac{S\cdot 12}{5S\cdot 12}=\frac{1}{5}$

Ответ: 1:5.