Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 44 и CD = 8 вписан в окружность.

Задание ЕГЭ

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 44 и CD = 8 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение

Решение:

    Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿CD, значит и хорды равны CD = AM = 8.
    ∠ABK = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
    Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:

∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°

    По теореме косинусов найдём MB:

MB² = AM² + AB² – 2·AM·AB·cos∠MAB
MB=\sqrt{AM^{2}+AB^{2}-2\cdot AM\cdot AB\cdot \cos 120^{\circ}} \\ MB=\sqrt{8^{2}+44^{2}-2\cdot 8\cdot 44\cdot (-0,5)} \\MB=\sqrt{64+1936+352} \\MB=\sqrt{2352}

    Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:

\frac{MB}{sin\angle MAB}=2R\\\frac{\sqrt{2352}}{sin\: 120^{\circ}}=2R\\\frac{\sqrt{2352}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R\\\frac{\sqrt{2352}\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R\\\frac{\sqrt{2352}}{\sqrt{3}}=R\\R=\sqrt{\frac{2352}{3}}=\sqrt{784}=28 

Ответ: 28.