Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 12 и CD = 30 вписан в окружность.

Задание ЕГЭ

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 12 и CD = 30 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение

Решение:

    Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿CD, значит и хорды равны CD = AM = 30.
    ∠ABK = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
    Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:

∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°

    По теореме косинусов найдём MB:

MB² = AM² + AB² – 2·AM·AB·cos∠MAB
MB=\sqrt{AM^{2}+AB^{2}-2\cdot AM\cdot AB\cdot \cos 120^{\circ}} \\ MB=\sqrt{30^{2}+12^{2}-2\cdot 30\cdot 12\cdot (-0,5)} \\MB=\sqrt{900+144+360} \\MB=\sqrt{1404}

    Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:

\frac{MB}{sin\angle MAB}=2R\\\frac{\sqrt{1404}}{sin\: 120^{\circ}}=2R\\\frac{\sqrt{1404}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R\\\frac{\sqrt{1404}\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R\\\frac{\sqrt{1404}}{\sqrt{3}}=R\\R=\sqrt{\frac{1404}{3}}=\sqrt{468}=\sqrt{36\cdot 13}=6\sqrt{13} 

Ответ: 6√13.