Четырёхугольника ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность.

Задание ЕГЭ

Четырёхугольника ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение

Решение:

    Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿DC, значит и хорды равны DC = AM = 16.
    ∠ABK = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
    Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:

∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°

    По теореме косинусов найдём MB:

MB² = AM² + AB² – 2·AM·AB·cos 120°

    Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:

Ответ: .