Задание ЕГЭ
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки B, D и середину ребра D1C1 проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если площадь сечения равна 2021∙3.Решение
Решение:
Пусть сторона куба равна а. В сечении получилась равнобедренная трапеция. Найдём основание DB по теореме Пифагора:
DB=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2a^{2}}=a\sqrt{2}
Найдём основание MN по теореме Пифагора:
MN=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{2a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}
Найдём DM по теореме Пифагора:
DM=\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}a}{2}
Зная что трапеция DMNB равнобедренная найдём DO:
DO=\frac{a\sqrt{2}-\frac{a}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{a}{2\sqrt{2}}
Найдём высоту MO по теореме Пифагора:
MO=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}a}{2})^{2}-(\frac{a}{2\sqrt{2}})^{2}}=\sqrt{\frac{5a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{8}}=\sqrt{\frac{9a^{2}}{8}}=\frac{3a}{2\sqrt{2}}
Площадь трапеции DMNB равна:
S_{DMNB}=\frac{a\sqrt{2}+\frac{a}{\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{3a}{2\sqrt{2}}=\frac{\frac{3a}{\sqrt{2}}\cdot 3a}{4\sqrt{2}}=\frac{9a^{2}}{8}
По условию она равна 2021·3:
\frac{9a^{2}}{8}=2021\cdot 3\\3a^{2}=2021\cdot 8\\a^{2}=\frac{2021\cdot 8}{3}
Найдём площадь полной поверхности куба:
S=6a^{2}=6\cdot \frac{2021\cdot 8}{3}=2\cdot 2021\cdot 8=32336
Ответ: 32336.