Дан треугольник АВС с вершинами А(–7;

Дан треугольник АВС с вершинами А(–7; –2), В(1;5), С(3;4).

На чтение 1 мин Просмотров 14 Обновлено 03.04.2024

Задание ЕГЭ

Дан треугольник АВС с вершинами А(–7; –2), В(1;5), С(3;4). Найдите длину медианы СМ.

Решение

Решение:

Построим ΔАВС:

Дан треугольник АВС с вершинами А(–7; –2), В(1;5), С(3;4).

Из прямоугольных треугольников по теореме Пифагора найдём стороны ΔАВС:

$AB=\sqrt{7^{2}+8^{2}}=\sqrt{49+64}=\sqrt{113} \,$

$BC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5} \,$

$AC=\sqrt{6^{2}+10^{2}}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136} \,$

Медиана СМ ΔАВС находится по формуле:

$CM=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot BC^{2}+2\cdot AC^{2}-AB^{2}}$

$CM=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot \sqrt{5}^{\, 2}+2\cdot \sqrt{136}^{\, 2}-\sqrt{113}^{\, 2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 5+2\cdot 136-113}=\frac{1}{2}\sqrt{169}=\frac{1}{2}\cdot 13=6,5$

Ответ: 6,5.