Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K – середина бокового ребра SА.

Задание ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K – середина бокового ребра SА. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно.

Решение

Решение:

а) Доказать: S_BCPQ = \frac{3}{4}·S_ΔSBC
    Т.к. плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку K и пересекает ребра SB и SC в точках Q и P соответственно, то Q и P являются серединами рёбер SB и SC соответственно.

  QP средняя линия ΔSBC. ΔSBC подобен ΔSQP, т.к. ∠S – общий, \frac{SQ}{SB}=\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}. Коэффициент подобия равен k = \frac{1}{2}.
    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

\frac{S_{\Delta SQP}}{S_{\Delta SBC}}=k^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}

    Отсюда:

S_{\Delta SQP}=\frac{1}{4}S_{\Delta SBC}

    Тогда:

S_BCPQ = S_ΔSBC – S_ΔSQP = S_ΔSBC –\frac{1}{4}S_ΔSBC = \frac{3}{4}·S_ΔSBC

    Что и требовалось доказать.

б) АВ = 16, SH = 10. Найти V_KBCPQ.

  QP средняя линия ΔSBC. ΔSBC подобен ΔSQP, т.к. ∠S – общий, \frac{SQ}{SB}=\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}. Коэффициент подобия равен k = \frac{1}{2}.
    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

\frac{S_{\Delta SQP}}{S_{\Delta SBC}}=k^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}

    Отсюда:

S_{\Delta SQP}=\frac{1}{4}S_{\Delta SBC}

    Тогда:

S_BCPQ = S_ΔSBC – S_ΔSQP = S_ΔSBC –\frac{1}{4}S_ΔSBC = \frac{3}{4}·S_ΔSBC

    Что и требовалось доказать.

б) АВ = 16, SH = 10. Найти V_KBCPQ.

    Найдём объём пирамиды SABC:

V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ocn}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 16^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 10=\frac{640\sqrt{3}}{3}

(площадь основания нашли по формуле площади равностороннего треугольника)

    Высота пирамиды КBCPQ в два раза меньше высоты пирамиды SABC проведённой из вершины А (т.к. ΔАВС||ΔKQP, KQ, KP, QP – средние линии). 
    Площадь основания пирамиды КBCPQ составляет \frac{3}{4}·S_ΔSBC (площадь основания пирамиды SABC).
    Найдём объём пирамиды КBCPQ:

V_{KBCPQ}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot V_{SABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{640\sqrt{3}}{3}=80\sqrt{3} 

Ответ: 80\sqrt{3}.