Задание ЕГЭ
Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны соответственно 11 и 7, а их скалярное произведение равно 53. Найдите длину вектора \overrightarrow{c}, если \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}.Решение
Решение:
Длина вектора обозначается как модуль:
|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|
Модуль можно представить как число возведённое в квадрат и извлечённое из под корня:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})}=\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}+2\cdot \overrightarrow{a}\cdot 2 \overrightarrow{b}+(2\overrightarrow{b})^{2}}=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}+4\cdot \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^{2}} |
Подставим значения из условия |\overrightarrow{a}|=11,|\overrightarrow{b}|=7,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=53:
| |\overrightarrow{c}|=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}+4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^{2}}=\sqrt{11^{2}+4\cdot 53+4\cdot 7^{2}}=\sqrt{121+212+196}=\sqrt{529}=23 |
Ответ: 23.