Движение двух материальных точек вдоль одной прямой заданы уравнениями S1 = 4t2 + 2, S2 = 3t2 + 4t – 1 …

Задание ЕГЭ

Движение двух материальных точек вдоль одной прямой заданы уравнениями S1 = 4t2 + 2, S2 = 3t2 + 4t – 1, (S1, S2 – пройденный путь в метрах, t – время в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны. В ответе укажите сумму всех полученных значений скоростей.

Решение

Решение:

    Найдём в какой момент времени их расстояния равны:

4t² + 2 = 3t² + 4t – 1
4t² + 2 – 3t² – 4t + 1 = 0
t² – 4t + 3 = 0
По теореме Виета или через дискриминант: 
t₁ = 1  t₂ = 3

    Найдём уравнение скорости для первой материальной точки, это производная от расстояния S₁:

v = S₁′ = 8t

    Подставив время найдём скорости первой точки:

v(1) = 8·1 = 8
v(3) = 8·3 = 24

    Найдём уравнение скорости для второй материальной точки, это производная от расстояния S₂:

v = S₂′ = 6t + 4

    Подставив время найдём скорости второй точки:

v(1) = 6·1 + 4 = 10
v(3) = 6·3 + 4 = 22

    Сумма всех скоростей:

8 + 24 + 10 + 22 = 64

Ответ: 64.