Задание ЕГЭ
Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй – 99, в третья – пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.а) Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй – 99, в третьей – 9?б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?Решение
Решение:
На каждом ходе происходит следующее, в двух коробках по –1 камню, в одной коробке +2 камня.
а) Да, могло. Например:
| 1 коробка | 2 коробка | 3 коробка | |
| 112 | 99 | 0 | |
| –1 | –1 | +2 | 6 раз |
| 106 | 93 | 12 | |
| –1 | +2 | –1 | 3 раза |
| 103 | 99 | 9 |
б) Нет, не могло.
Если в 1-й и 2-й коробке выполнять действия –1 и –1, то разница в камнях между коробками не изменится. Если для этих коробок выполнять действие –1 и –2 или –2 и –1, то разница в камнях изменяется на 3. Значит, какие бы действия не выполнялись с коробками разница камней между 1-й и 2-й коробкой всегда будет давать одинаковый остаток при делении на 3.
Изначально в коробках 112 и 99 камней, их разница:
112 – 99 = 13
Остаток от деления на 3:
\frac{13}{3}=4\frac{\color{Green} 1}{3}
Если в третьей коробке 211 камней, то во всех остальных коробках по 0 камней, т.к. изначально всего камней в коробках было:
112 + 99 + 0 = 211
Разница камней 1-й и 2-й коробки:
0 – 0 = 0
Остаток от деления на 3:
\frac{0}{3}=\color{Green} 0
А должен быть остаток 1, получили противоречие.
в) Во 2-й коробке 4 камня, подберём в 1-ю коробку наименьшее количество камней (что бы в 3-й коробке осталось набольшее количество камней), что бы разница давала при делении на 3 остаток 1.
Например:
1-я коробка = 5
2-я коробка = 4
Разница: 5 – 4 = 1
Остаток от деления на 3: 1
Если из 1-й коробки убрать 3 камня, то остаток снова станет 1 (через каждые 3 камня остаток повторяется):
1-я коробка = 2
2-я коробка = 4
Разница: 2 – 4 = –2
Остаток от деления на 3 (остаток не может быть отрицательным):
\frac{–2}{3}=\frac{–3+1}{3}=\frac{–3}{3}+\frac{1}{3}=остаток\: 0+остаток \:\color{Green} 1
Меньше камней в 1-й коробке быть не может. Тогда в 3-й коробке:
211 – 2 – 4 = 205
| 1 коробка | 2 коробка | 3 коробка | |
| 112 | 99 | 0 | |
| –1 | –1 | +2 | 10 раз |
| 102 | 89 | 20 | |
| –1 | +2 | –1 | 5 раз |
| 97 | 99 | 15 | |
| –1 | –1 | +2 | 95 раз |
| 2 | 4 | 205 |
Ответ: а) да, б) нет, в) 205.