Известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АB и CD …

Задание ЕГЭ

Известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АD и BC четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что треугольники ALB и CLD подобны.

Решение

Решение:

    В ΔALB и ΔCLD ∠L общий.
    Четырёхугольник АВСD вписан в окружность сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180º
∠ABC = 180º – ∠ADC

    ∠ADC и ∠СDL смежные их сумма равна 180º:

∠ADC + ∠СDL = 180º
∠СDL = 180º – ∠ADC

    Из этих двух равенств получаем:

∠ABC = ∠СDL

    Тогда ΔALB и ΔCLD подобны по двум равным углам.
    Что и требовалось доказать.