Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41√2.

На чтение 1 мин Просмотров 9 Обновлено 03.04.2024

Задание ЕГЭ

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82 + 41√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Решение:

Радиус будем находить через площадь треугольника:

S_Δ = pr

Катеты треугольника АВС равны:

АС = ВС = 82 + 41√2 = 41(2 + √2)

По теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ:

$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(41(2+\sqrt{2}))^{2}+(41(2+\sqrt{2}))^{2}}=\sqrt{2\cdot (41(2+\sqrt{2}))^{2}}=41(2+\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}=41(2\sqrt{2}+2)=41\cdot 2\cdot (1+\sqrt{2})=82\cdot (1+\sqrt{2})$

Найдём полупериметр ΔАВС:

$p=\frac{P}{2}=\frac{AC+BC+AB}{2}=\frac{41(2+\sqrt{2})+41(2+\sqrt{2})+82\cdot (1+\sqrt{2})}{2}=\frac{2\cdot 41(2+\sqrt{2})+82\cdot (1+\sqrt{2})}{2}=\frac{82(2+\sqrt{2}+1+\sqrt{2})}{2}=41(3+2\sqrt{2})$

Найдём площадь ΔАВС:

$S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 41(2+\sqrt{2})\cdot 41(2+\sqrt{2})=\frac{1}{2}\cdot (41(2+\sqrt{2}))^{2}$

Найдём радиус: $\frac{1}{2}\cdot (41(2+\sqrt{2}))^{2}=41(3+2\sqrt{2})\cdot r$

$\frac{1}{2}\cdot 41^{2}(4+4\sqrt{2}+2)=41(3+2\sqrt{2})\cdot r$

$\frac{1}{2}\cdot 41^{2}(6+4\sqrt{2})=41(3+2\sqrt{2})\cdot r$

$41^{2}(3+2\sqrt{2})=41(3+2\sqrt{2})\cdot r$

$r=\frac{41^{2}(3+2\sqrt{2})}{41(3+2\sqrt{2})}=41$

Ответ: 41.