Каждый день больной заражает четырёх человек, каждый из которых, начиная со следующего дня …

Задание ЕГЭ

Каждый день больной заражает четырёх человек, каждый из которых, начиная со следующего дня, каждый день также заражает новых четырех и так далее. Болезнь длится 14 дней. В какой день станет 3125 заболевших? (В ответе укажите только число.)

Решение

Решение:

    В первый день больной заразит 4-х человек, тогда больных вместе с ним станет:

1 + 4 = 5

    Во второй день каждый из 5 больных заразит ещё 4-х, вместе с ними больных станет:

5 + 5·4 = 25

    В третий день каждый из 25 больных заразит ещё 4-х, вместе с ними больных станет:

25 + 25·4 = 125

    И т.д. Замечаем, что в первый день было 5 больных и каждый следующий день их количество увеличивалась в 5 раз. Это геометрическая прогрессия, где:

  b₁ = 5;
  q = 5;
  b_n = 3125;
  n – ?, день в который больных станет 3125;

    Используем формулу n-ого члена геометрической прогрессии и находим из неё n:

b_n = b₁·q^{n – 1}
3125 = 5·5^{n – 1}
625 = 5^{n – 1}
5⁴ = 5^{n – 1}
4 = n – 1
n = 4 + 1 = 5 дней

    Болезнь длится 14 дней, ни кто из заболевших выздороветь не успеет, значит 3125 больных станет в 5-й день.

Ответ: 5.