Задание ЕГЭ
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.Решение
Решение:
а) Нет, не может.
Обозначим 11 различных натуральных чисел как:
а1, а2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11
По условию среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
Наибольшее из чисел а11 = 16, возьмём наибольшие возможные значения для семи наибольших чисел:
а11 =16
а10 = 15
а9 = 14
а8 = 13
а7 = 12
а6 = 11
а5 = 10
Найдём их среднее арифметическое:
\frac{a_{11}+a_{10}+a_{9}+a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}}{7}=\frac{16+15+14+13+12+11+10}{7}=\frac{91}{7}=13
Тогда наибольшее возможное среднее арифметическое семи наибольших чисел, при а11 = 16, равно 13, но 13<14, значит а11 не может быть равно 16.
б) Нет, не может.
Среднее арифметическое 6 наименьших чисел рано 8, найдём их сумму:
\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=8\\a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=6\cdot 8=48
Среднее арифметическое 7 наибольших чисел рано 14, найдём их сумму:
\frac{a_{11}+a_{10}+a_{9}+a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}}{7}=14\\a_{11}+a_{10}+a_{9}+a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}=7\cdot 14=98
Сложив две эти суммы получим:
(а1 + а2 + a3 + a4 + a5 + a6) + (a5 + a6 + a7 +a8 + a9 + a10 + a11) = 48 + 98 = 146
В каждой сумме повторяется a5 + a6, зная это выразим сумму всех 11 чисел:
а1 + а2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 +a8 + a9 + a10 + a11 = 146 – (a5 + a6)
С другой стороны по условию, среднее арифметическое всех 11 чисел должно равняется 10, найдём их сумму:
\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}}{11}=10\\a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}=11\cdot 10=110
Можем найти чему равна сумма a5 + a6:
а1 + а2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 +a8 + a9 + a10 + a11 = 146 – (a5 + a6)
110 = 146 – (a5 + a6)
a5 + a6 = 146 – 110 = 36
Минимально возможное значение a6 будет в следующем случае:
a5 = 17
a6 = 19
a5 + a6 = 17 + 19 = 36
Тогда минимально возможные последние 7 чисел равны:
а11 = 24
а10 = 23
а9 = 22
а8 = 21
а7 = 20
а6 = 19
а5 = 17
Найдём их среднее арифметическое:
\frac{a_{11}+a_{10}+a_{9}+a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}}{7}=\frac{24+23+22+21+20+19+17}{7}=\frac{146}{7}≈ 20,9
Но по условию их среднее арифметическое должно быть 14, это меньше, чем наименьшее возможное среднее арифметическое 20,9. Значит, среднее арифметическое всех 11 чисел НЕ может равняется 10.
в) Из пункта б), знаем, что сумма 11 чисел равна:
146 – (a5 + a6)
Тогда среднее арифметическое равно:
\frac{146-(a_{5}+a_{6})}{11}
Что бы оно было наименьшим, вычитаемая сумма a5 + a6 должна быть наибольшей.
Из пункта а), знаем, что если а11 = 16, то среднее арифметическое 7 наибольших чисел, чуть меньше того, что в условии 13<14.
Пусть а11 = 17, тогда наибольшие значения а5 и а6 будут в следующем случае:
а11 =17
а10 = 16
а9 = 15
а8 = 14
а7 = 13
а6 = 12
а5 = 11
Проверим равно ли теперь их среднее арифметическое 14:
\frac{a_{11}+a_{10}+a_{9}+a_{8}+a_{7}+a_{6}+a_{5}}{7}=\frac{17+16+15+14+13+12+11}{7}=\frac{98}{7}=14
верно
Зная значения а5 и а6 подберём значения 6 наименьших чисел, так, что бы их среднее арифметическое было равно 8 (по условию), а, следовательно, сумма 48 (пункт б):
а1 = 2
а2 = 5
а3 = 8
а4 = 10
а5 = 11
а6 = 12
Найдём наименьшее значение среднего арифметического всех 11 чисел:
\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}}{11}=\frac{2+5+8+10+11+12+13+14+15+16+17}{11}=\frac{123}{11}=11\frac{2}{11}
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11\frac{2}{11}.