На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя …

Задание ЕГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Решение

Решение:

    Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:

10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1

    У змейки каждое звено повторяется два раза:

2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)

    Тогда для змейки с первым звеном 120 длина ломаной находится:

2·(120 + 119 + 118 + … + 1)

    В скобках получаем арифметическую прогрессию:

а₁ = 1
а₁₂₀ = 120
n = 120
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\S_{120}=\frac{(1+120)\cdot 120}{2}=121\cdot 60=7260

    Тогда длина ломанной равна:

2·(120 + 119 + 118 + … + 1) = 2·S₁₂₀ = 2·7260 = 14520

Ответ: 14520.