На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки.

Задание ЕГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.

Решение

Решение:

    Длину ломаной с первым звеном 10 можно посчитать следующим образом:

10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + … + 1 + 1

    У змейки каждое звено повторяется два раза:

2·10 + 2·9 + 2·8 + … + 2·1 = 2·(10 + 9 + 8+ … + 1)

    Тогда для змейки с первым звеном 170 длина ломаной находится:

2·(170 + 169 + 168 + … + 1)

    В скобках получаем арифметическую прогрессию:

а₁ = 1
а₁₇₀ = 170
n = 170
S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\\S_{170}=\frac{(1+170)\cdot 170}{2}=171\cdot 85=14535

    Тогда длина ломанной равна:

2·(170 + 169 + 168 + … + 1) = 2·S₁₇₀ = 2·14535 = 29070

Ответ: 29070.