Задание ЕГЭ
На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.Решение
Решение:
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
∠АОВ = ‿АВ = 72°
ΔAOB – равнобедренный, т.к. его боковые стороны являются радиусами окружности и равны ОА = ОВ. Углы при основании в нём равны ∠ОАВ = ∠ОВА, найдём их сумму:
∠ОАВ + ∠ОВА + ∠АОВ = 180
∠ОАВ + ∠ОВА + 72° = 180°
∠ОАВ + ∠ОВА = 180° – 72°
∠ОАВ + ∠ОВА = 108°
Тогда каждый из них равен:
∠ОАВ = ∠ОВА = 108°/2 = 54°
Радиус проведённый к касательной пересекает её под прямым углом:
∠ОВС = 90°
Найдём искомый ∠АВС:
∠АВС = ∠ОВС – ∠ОВА = 90° – 54° = 36°
Ответ: 36.