На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax^2 + bx + c, где числа a, b и c – целые.

Задание ЕГЭ

На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax2 + bx + c, где числа a, b и c – целые. Найдите значение f(2).

Решение

Решение:

    Возьмём 3 точки с целочисленными координатами принадлежащие параболе:

    Подставив их координаты х и у (это f(x)) получим систему из 3-х уравнений:

\begin{cases} 2=a(-1)^{2}+b(-1)+c \\ -3=a(-2)^{2}+b(-2)+c \\-1=a(-4)^{2}+b(-4)+c\end{cases}\\\begin{cases} 2=a-b+c \\ -3=4a-2b+c \\-1=16a-4b+c\end{cases}

    От всех 3-х уравнений отнимем 1-е уравнение, получим:

\begin{cases} 2-2=a-b+c-a-(-b)-c \\ -3-2=4a-2b+c-a-(-b)-c \\-1-2=16a-4b+c-a-(-b)-c\end{cases}\\\begin{cases} 0=0 \\ -5=3a-b \\-3=15a-3b\end{cases}

    Из 2-го уравнения выразим b:

b = 5 + 3a

    И подставим в 3-е уравнение, так найдём а:

–3 = 15a – 3(5 + 3a)
–3 = 15а – 15 – 9а
–3 + 15 = 15а – 9а
12 = 6а
а = 12/6 = 2

    Зная а, найдём b:

b = 5 + 3a = 5 + 3·2 = 5 + 6 = 11

    Подставим значения а и b в 1-е уравнение и найдём с:

 2 = a – b+c
2 = 2 – 11 + с
с = 11

    Функция имеет вид:

f(x) = 2x² + 11x + 11

    Найдём f(2):

f(2) = 2·2² + 11·2 + 11 = 8 + 22 + 11 = 41

Ответ: 41.