Задание ЕГЭ
На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников ABK и CDK равна половине площади трапеции.Решение
Решение:
Отметим на средней линии трапеции точку K и проведём, через неё высоту НP трапеции:
Площадь трапеции АВСD по формуле находится следующим образом:
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HP
Т.к. высота трапеции проходит, через точку K принадлежащей средней линии, то высоты треугольников равны:
KP = KH
Сумма площадей ΔBKC и ΔAKD равна:
S_{\Delta BKC+\Delta AKD}=S_{\Delta BKC}+S_{\Delta BKC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot KH\cdot (BC+AD)=\frac{BC+AD}{2}\cdot KH=\frac{BC+AD}{2}\cdot \frac{HP}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC+AD}{2}\cdot HP
Сравнив площади, видим что сумма площадей ΔВKС и ΔАKD равна половине площади трапеции (т.к. высота трапеции в два раза больше высоты треугольника).
Если сумма площадей ΔВKС и ΔАKD – это половина площади трапеции АВСD, то оставшиеся части трапеции: сумма площадей ΔABK и ΔCDK – это другая половина её площади.
Что и требовалось доказать.