Задание ЕГЭ
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD = 72, MD = 18, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.Решение
Решение:
Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
MQ – хорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:
MD = DQ = 18
Найдём АМ:
AM = AD – MD = 72 – 18 = 54
Найдём AQ:
AQ = AD + DQ = 72 + 18 = 90
По теореме о секущих:
AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 54·90
ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:
\frac{AK}{AH}=\frac{AD}{AC}\\AK\cdot AC=AH\cdot AD\\54\cdot 90=AH\cdot 72\\AH=\frac{54\cdot 90}{72}=67,5
Ответ: 67,5.