Найдите боковою сторону АВ трапеции АВСD, если углы АВС и ВСD …

Задание ЕГЭ

Найдите боковою сторону АВ трапеции АВСD, если углы АВС и ВСD равны соответственно 30° и 135°, а СD = 17.

Решение

Решение:

    Построим трапецию АВСD с данными углами и проведём в ней две высоты AH₁ и DH₂:

    Рассмотрим ΔCDH₂ он прямоугольный, ∠BCD и ∠DCH₂ смежные их сумма равна 180°, найдём ∠DCH₂:

∠DCH₂ = 180° – ∠BCD = 180° – 135° = 45°

    Сумма углов любого треугольника равна 180°. Зная 2 угла ΔCDH₂, найдём 3-й угол треугольника:

∠H₂DC = 180° – ∠DCH₂ – CH₂D = 180° – 45° – 90° = 45°

    Значит ΔCDH₂ ещё и равнобедренный, боковые стороны равны:

СН₂ = DН₂ = х

    В прямоугольном треугольнике ΔCDH₂, по теореме Пифагора, найдём DН₂:

CD² = CH₂² + DH₂²
17² = x² + x²
17² = 2x²
x^{2}=\frac{17^{2}}{2}\\x=\sqrt{\frac{17^{2}}{2}}=\frac{17\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{2}} }{\sqrt{2}\:{\color{Blue} |\cdot\sqrt{2}} }=\frac{17\sqrt{2}}{2}=8,5\sqrt{2}

    Высоты трапеции равны:

AH₁ = DH₂ = 8,5√2

    Рассмотрим прямоугольный ΔABH₁. Катет (AH₁) прямоугольного треугольника (ΔABH₁), лежащий против угла (∠АВС) в 30°, равен половине гипотенузы (AB). Значит гипотенуза в два раза больше катета:

АВ = 2·АН₁ = 2·8,5√2 = 17√2

Ответ: 17√2.