Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC …

Задание ЕГЭ

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 34.

Решение

Решение:

    Построим трапецию АВСD с данными углами и проведём в ней две высоты AH₁ и DH₂:

    Рассмотрим ΔCDH₂ он прямоугольный, ∠BCD и ∠DCH₂ смежные их сумма равна 180°, найдём ∠DCH₂:

∠DCH₂ = 180° – ∠BCD = 180° – 120° = 60°

    Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin\angle DCH_{2}=\frac{DH_{2}}{CD}\\sin60^{\circ }=\frac{DH_{2}}{34}\\\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DH_{2}}{34}\\DH_{2}=\frac{34\cdot \sqrt{3}}{2}=17\sqrt{3}

    Высоты трапеции равны:

AH₁ = DH₂ = 17√3

    Аналогично в прямоугольном ΔABH₁:

sin\angle ABH_{1}=\frac{AH_{1}}{BA}\\sin45^{\circ }=\frac{17\sqrt{3}}{BA}\\\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17\sqrt{3}}{BA}\\BA=\frac{17\sqrt{3}\cdot 2\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{2}\:{\color{Blue} |\cdot \sqrt{2}} }=\frac{17\cdot \sqrt{6}\cdot 2}{\sqrt{4}}=\frac{17\cdot \sqrt{6}\cdot 2}{2}=17\sqrt{6}

Ответ: 17\sqrt{6}.