Найдите наибольшее значение функции у = х^5 + 5х^3 – 140х на отрезке [-8; -1].

Задание ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции у = х5 + 5х3 – 140х на отрезке [–8; –1].

Решение

Решение:

    Найдем производную функции:

y′ = (х⁵ + 5х³ – 140x)′ = 5x⁴ + 15x² – 140

    Найдем нули производной:

5x⁴ + 15x² – 140 = 0 |:5
(x²)² + 3x² – 28 = 0

    Замена х² = t, t > 0:

t² + 3t – 28 = 0
D = 3² – 4·1·(–28) = 121 = 11²
t_{1}=\frac{–3+11}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4\\t_{2}=\frac{–3–11}{2\cdot 1}=\frac{–14}{2}=-7{\color{Blue} <0\, \, \notin }

    Обратная замена:

х² = 4
х_1,2 = ±√4 = ±2

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума: х = –2.  
    Найдём наибольшее значение функции:

у(–2) = (–2)⁵ + 5·(–2)³ – 140·(–2) = –32 – 40 + 280 = 208

Ответ: 208.