Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 18)^12 – 12x на отрезке [-17,5;0].

Задание ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 18)12 − 12x на отрезке [−17,5;0].

Решение

Cпособ 1
Решение:

y = ln(x + 18)¹² − 12x

    Найдём производную функцию:

y^{′}=\frac{1}{(x+18)^{12}}\cdot ((x+18)^{12})^{′}-12=\frac{1}{(x+18)^{12}}\cdot 12\cdot (x+18)^{11}\cdot (x+18)^{′} -12=\frac{1}{(x+18)^{12}}\cdot 12\cdot (x+18)^{11}\cdot 1 -12=\frac{12\cdot (x+18)^{11}}{(x+18)^{12}}-12=\frac{12}{x+18}-12

    Найдём нули функции:

\frac{12}{x+18}-12=0\\\frac{12}{x+18}=12\:{\color{Blue} |: 12}\\\frac{1}{x+18}=1\\x+18=1\\x=1-18=-17

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка максимума х = –17, там и будет наибольшее значение функции:

y(–17) = ln(–17 + 18)¹² − 12·(–17) = 0 + 204 = 204

Ответ: 204.