Найдите наименьшее значение функции y = 10x − 10ln(x + 4) + 23 на отрезке [−3,5; 0].

Задание ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции y = 10x − 10ln(x + 4) + 23 на отрезке [−3,5; 0].

Решение

Решение:

y = 10x − 10ln(x + 4) + 23

    Найдем производную функции:

y^{′}=10 – 10\cdot \frac{1}{x+4}

    Найдем нули производной:

10 – 10\cdot \frac{1}{x+4}=0\\– 10\cdot \frac{1}{x+4}=-10\:{\color{Blue} |: -10} \\\frac{1}{x+3}=1\\x+4=1\\x=1-4=-3\\\color{Blue} x+4\neq 0\\\color{Blue} x\neq -4

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = –3, там и будет наименьшее значение функции:

у(–3) = 10·(–3) − 10·ln(–3 + 4) + 23 = –30 – 10·ln1 + 23 = –7 – 10·0 = –7

Ответ: –7.