Найдите наименьшее значение функции y =4/3x√x − 12x + 95 на отрезке [34; 42].

Задание ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции y = \frac{4}{3}x√x − 12x + 95 на отрезке [34; 42].

Решение

Решение:

y = \frac{4}{3}x√x – 12x + 95 = \frac{4}{3}· x¹·x^\frac{1}{2} – 12x + 95=\frac{4}{3}· x^{1+\frac{1}{2}} – 12x + 95 =\frac{4}{3}· x^\frac{3}{2} – 12x + 95
ОДЗ: х ≥ 0

    Найдем производную функции:

y′=(\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}– 12x + 95)′=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}–1}-12=2\cdot x^{\frac{1}{2}}-12=2\sqrt{x}-12

    Найдем нули производной:

2\sqrt{x}-12=0\\2\sqrt{x}=12\\\sqrt{x}=\frac{12}{2}\\\sqrt{x}=6{\color{Blue} |^{2}}\\x=36

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции на отрезке [34; 42] из условия:

    Точка минимума х = 36, там и будет наименьшее значение функции на отрезке [34; 42]:

y(36)=\frac{4}{3}\cdot 36\cdot \sqrt{36}-12\cdot 36+95=48\cdot 6-432+95=-49

Ответ: –49.