Задание ЕГЭ
Найдите наименьшее значение функции y = 4sinx – 6x + 7 на отрезке [–\frac{3\pi}{2};0].Решение
Решение:
y = 4sinx – 6x + 7
Найдем производную функции:
y′ = (4sinx – 6x + 7) = 4cosx – 6
Найдем нули производной:
y′ = 0
4cosx – 6 = 0
4cosx = 6
cos\:x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5
1,5 > 1, корней нет, а т.к. при любом значении cosx ∈ [–1; 1] производная отрицательна, значит функция всё время убывает.
Наименьшее значение функции на данном отрезке, будет в её крайней правой точке х = 0 (для проверки подставил ещё и крайнюю левую точку x=–\frac{3\pi}{2}):
y(–\frac{3\pi}{2})=4\cdot sin(–\frac{3\pi}{2})-6\cdot (\frac{3\pi}{2})+7=4\cdot 1+\frac{6\cdot 3\pi}{2}+7=4+9\pi+7=9\pi+11\\y(0)=4\cdot sin\:0-6\cdot 0+7=0-0+7=7
Наименьшее значение функции равно 7.
Ответ: 7.