Найдите наименьшее значение функции y = (5x^2+2)/(3x^2+20)+(3x^2+20)/(5x^2+2)

Задание ЕГЭ

Решение

Решение:

    Обозначим u=\frac{5x^{2}+2}{3x^{2}+20}, тогда \frac{3x^{2}+20}{5x^{2}+2}=\frac{1}{u}.

y=u+\frac{1}{u}

    Найдём производную функции:

y^{′}=1-\frac{1}{u^{2}}

    Найдём нули производной:

1-\frac{1}{u^{2}}=0\\\frac{u^{2}-1}{u^{2}}=0

u ≠ 0
u₁ = 1
u₂ = –1

    Наименьшее значение будет в точке минимума х = 1.

y(1)=1+\frac{1}{1}=2

Ответ: 2.