Найдите наименьшее значение функции y = x^3 + 18x^2 + 81x + 56 на отрезке [-7; 0].

Задание ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции y = x3 + 18×2 + 81x + 56 на отрезке [–7; 0].

Решение

Решение:

y = x³ + 18x² + 81x + 56

    Найдём производную функцию:

y′ = 3x² + 36х + 81 + 0 = 3x² + 36х + 81

    Найдём нули функции:

3x² + 36х + 81 = 0 |:3
x² + 12х + 27 = 0

D = 12² – 4·1·27 = 36 = 6²
x_{1}=\frac{–12+6}{2\cdot 1}=\frac{–6}{2}=–3\\x_{2}=\frac{–12–6}{2\cdot 1}=\frac{–18}{2}=–9

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума х = –3, там и будет наименьшее значение функции:

y(–3) = (–3)³ + 18·(–3)² + 81·(–3) + 56 = –27 + 162 – 243 + 56 = –52

Ответ: –52.