Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A1, B1, F1, A …

Задание ЕГЭ

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A1, B1, F1, A правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.

Решение

Решение:

    Многогранник c вершинами A₁, B₁, F₁, A это треугольная пирамида:

    Правильный шестиугольник в основании шестиугольной пирамиды можно разделить на 12 равных треугольников, а площадь основания пирамиды AA₁B₁F₁ составляет 2 треугольникa: 

    Правильный шестиугольник в основании шестиугольной пирамиды можно разделить на 12 равных треугольников, а площадь основания пирамиды AA₁B₁F₁ составляет 2 треугольникa: 

S_{A_{1}B_{1}F_{1}}=\frac{2}{12}\cdot S_{ABCDEF}=\frac{1}{6}\cdot S_{ABCDEF}=\frac{1}{6}\cdot 12=2

    Найдём объём треугольной пирамиды:

V_{AA_{1}B_{1}F_{1}}=\frac{1}{3}\cdot S_{A_{1}B_{1}F_{1}}\cdot AA_{1}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 15=5\cdot 2=10

Ответ: 10.