Задание ЕГЭ
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно \sqrt{17}.Решение
Решение:
Из справочного материала знаем площадь пирамиды:
S=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot h
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат:
Sосн = a2 = 42 = 16
Найдём диагональ (d) основания по теореме Пифагора:
d2 = a2 + a2
d2 = 42 + 42
d2 = 16 + 16
d2 = 32
d = \sqrt{32} = 4√2
Рассмотрим прямоугольный треугольник содержащий высоту. В нём гипотенуза равна \color{Red} \sqrt{17}, катет равен половине диагонали, т.е. \frac{4\sqrt{2}}{2}=\color{Blue} 2\sqrt{2}, высоту h найдём по теореме Пифагора:
h2 + (2√2)2 = (√17)2
h2 + 8 = 17
h2 = 17 – 8 = 9
h = 3
Площадь пирамиды:
S=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 3=16
Ответ: 16.