Задание ЕГЭ
Найдите объём треугольной пирамиды DABC, если AB = 30, BC = CA = 17 и все двугранные углы при основании равны 45º.Решение
Решение:
Если все двухгранные углы равны, то высота проецируется в центр вписанной окружности.
Синий треугольник будет равнобедренный, т.к. углы 90º, 45º и 45º, а значит высота трапеции равна радиусу вписанной окружности.
Для вписанной в треугольник окружности:
R=\frac{S}{p}
Найдём площадь ΔАВС по формуле Герона. Полупериметр равен:
p=\frac{17+17+30}{2}=32
Площадь треугольника равна:
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{32(32-17)(32-17)(32-30)}=\sqrt{32\cdot 15\cdot 15\cdot 2}=\sqrt{64\cdot 15^{2}}=8\cdot 15=120
Найдём высоту:
H=R=\frac{S_{\Delta }}{p}=\frac{120}{32}=\frac{15}{4}
Найдём объём пирамиды:
V_{DABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta }\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 120\cdot \frac{15}{4}=150
Ответ: 150.