Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 24 и высота равна 16.

Задание ЕГЭ

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 24 и высота равна 16.

Решение

Решение:

    У правильной четырехугольной пирамиды в основании квадрат. По теореме Пифагора, найдём диагональ квадрата:

АС² = АВ² + ВС²
АС² = 24² + 24²
АС² = 2·24²
АС = √2·24

    Высота пирамиды опускается в точку пересечения диагоналей квадрата. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам. Найдём ОС:

OC=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot 24}{2}=\sqrt{2}\cdot 12

    В прямоугольном ΔSOC, по теореме Пифагора, найдём SC:

SC² = SO² + OC²
SC² = 16² + (√2·12)²
SC² = 256 + 288
SC² = 544
SC = √544

    Найдём НС:

НС = ВС/2 = 24/2 = 12

    В прямоугольном ΔSHC, по теореме Пифагора, найдём SH:

SC² = HC² + SH²
(√544)² = 12² + SH²
544 = 144 + SH²
SH² = 544 – 144
SH² = 400
SH = √400 = 20

    Найдём площадь равнобедренного ΔBCS:

S_ΔBCS = ½·BC·SH = ½·24·20 = 12·20 = 240

    Площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды, это площадь 4-х равных треугольников:

S_бок. = 4·S_Δ = 4·240 = 960

Ответ: 960.